Skrivelse om standardforsøg i matematik fællesfag og tilvalgsfag på HF (matematik)

§ 16. Matematik

I. Fællesfag

Formål

Formålet med undervisningen er, at de studerende opnår nogle matematiske kundskaber, som kan være dem til nytte i andre fællesfag og i deres øvrige dagligdag, samt at de får et indtryk af matematisk metode og tankegang.

Undervisningen

Undervisningen omfatter

1. Tal.

Hele, rationale og reelle tal; regneregler for rationale og reelle tal, talmængder. Procentregning; indekstal, vejet gennemsnit, annuiteter. Åbent udsagn; løsningsmængde til åbent udsagn, eksempler på løsning af simple ligninger og uligheder i een variabel.

2. Funktionsbegrebet.

Definitionsmængde, funktionsværdi, værdimængde, monotoniforhold, injektiv funktion, invers funktion.

3. Specielle funktioner: grafisk fremstilling.

Lineær funktion, stykkevis lineær funktion, eksponentialfunktion; koordinatsystem, enkeltlogaritmisk papir; eksempler på forskellige måder at fastlægge en funktion på.

4. Deskriptiv statistik.

Talmæssig beskrivelse af observationer, hyppighed, frekvens, intervalhyppighed, intervalfrekvens, frekvensfordeling, kumuleret frekvensfordeling, grafiske beskrivelsesmidler, statistiske deskriptorer.

5. Sandsynlighedsregning; statistik.

Eksperiment; udfald, udfaldsrum, sandsynlighedsfunktion, hændelser, endeligt sandsynlighedsfelt. Stikprøveudtagning, binomialfordeling.

6. Regnetekniske hjælpemidler.

Lommeregner, tabeller, enkeltlogaritmisk papir.

Eksamen

Der afholdes en skriftlig prøve og en mundtlig prøve.

Den skriftlige prøve

Der gives et opgavesæt, der består af et antal mindre opgaver og eventuelt en eller flere mere omfattende opgaver. Nogle af opgaverne i sættet er valgfrie. Til besvarelse heraf gives 4 timer. Der kan stilles opgaver i alle dele af pensum med undtagelse af ikke-grupperede observationer (punkt 4).

Den mundtlige prøve

Opgivelserne til den mundtlige prøve skal for kursusstuderende i omfang svare til ca. halvdelen af det obligatoriske pensum. Selvstuderende opgiver det pensum, der er fastlagt i punkterne 1-5.

Der gives eet spørgsmål, der er formet således, at flere dele af pensum kan berøres.

Der gives een karakter på grundlag af en særkarakter for den skriftlige prøve og en særkarakter for den mundtlige prøve. Særkaraktererne, der tæller lige, angives på eksamensbeviset.

II. Tilvalgsfag

Formål

Formålet med undervisningen er, at de studerende opnår en sådan matematisk indsigt og et sådant kendskab til fundamentale matematiske begreber, metoder og tankegange, at de får det faglige grundlag for at gennemføre videregående uddannelser, der anvender matematik.

Undervisningen

Undervisningen omfatter

1. Elementære funktioner.

Sammensat funktion. Polynomier i en variabel, herunder deres faktoropløsning; brudne rationale funktioner af een variabel; eksponentialfunktioner; logaritmefunktioner med grundtal e og 10; potensfunktioner; de trigonometriske funktioner, herunder deres anvendelse ved beregning i retvinklede trekanter.

Løsning af simple ligninger og uligheder, hvori de nævnte funktioner indgår.

2. Sandsynlighedsregning.

Betinget sandsynlighed; stokastisk variabel; middelværdi, spredning.

3. Infinitesimalregning.

Beskrivelse af begreberne grænseværdi og kontinuitet af en reel funktion af een reel variabel; differentiabilitet af en reel funktion af een reel variabel; regneregler for differentiation; det approksimerende førstegradspolynomium; bestemmelse af funktioners værdimængde og monotoniforhold; simple eksempler på bestemmelse af funktioners asymptotiske egenskaber; tegning af plane kurver bestemt ved eksplicit givne funktioner; det bestemte integral som grænseværdi for summer; det ubestemte integral; regneregler for bestemte og ubestemte integraler, herunder partiel integration og integration ved substitution; bestemmelse af arealer og rumfang ved integration.

Eksamen

Der afholdes en skriftlig prøve og en mundtlig prøve.

Den skriftlige prøve

Der gives et opgavesæt bestående af et antal opgaver med enklere problemstilling samt en eller flere mere sammensatte opgaver. Nogle af opgaverne i sættet er valgfrie. Til besvarelse heraf gives 4 timer.

Der kan stilles opgaver i alle dele af det for fællesfag og tilvalgsfag obligatoriske pensum med undtagelse af annuiteter og deskriptiv statistik.

Den mundtlige prøve

Opgivelserne til den mundtlige prøve skal for kursusstuderende i omfang svare til ca. halvdelen af det samlede obligatoriske pensum for fællesfag og tilvalgsfag, idet hovedvægten lægges på tilvalgsfagets pensum. Selvstuderende opgiver hele det obligatoriske pensum for fællesfag og tilvalgsfag.

Der gives to spørgsmål, der begge er formet således, at flere dele af pensum kan berøres.

Der gives to karakterer, een for den skriftlige prøve og een for den mundtlige prøve.

UNDERVISNINGSVEJLEDNING

Indholdsoversigt

I. Almindelige bemærkninger.

II. Fællesfaget.

III. Tilvalgsfaget.

IV. Selvstuderende.

V. Eksamen.

I. Almindelige bemærkninger

Såvel lærer som studerende deltager i undervisningens tilrettelæggelse , og det er et fælles ansvar for lærer og studerende, at undervisningen bliver tilrettelagt på en for alle tilfredsstillende måde. Det er dog lærerens ansvar, at denne tilrettelæggelse bliver sådan, at bekendtgørelsens minimumskrav vil kunne opfyldes.

Faget lægger op til forskellige arbejdsformer fra individuelle former over forskellige gruppeprægede former til en arbejdsform, hvor hele klassen er engageret samtidig i samme situation; ingen af disse former vil dog være velegnet til alle dele af stoffet.

Ifølge bekendtgørelsen om højere forberedelseseksamen § 13, stk. 2 skal undervisningen omfatte træning i studiemetodik. I forbindelse med tilegnelsen af en matematisk tekst kan man pege på, at læseren kan have udbytte af at stille sig spørgsmål som

Hvilket problem behandles, og hvor er problemet formuleret? Hvor bearbejdes problemet, og hvor er en eventuel løsning formuleret? Hvilke dele af teksten er eksempler til belysning af problemet?

Det kan endvidere være naturligt at pege på, at man i arbejdet såvel med matematiske emner som i arbejdet med problemer, hvor matematikken optræder som et hjælpemiddel, må have en vurderende holdning til teksten: Hvilke konklusioner drages? Er grundlaget for anvendelsen af de matematiske begreber tilstrækkeligt?

I matematikundervisningen vil det være naturligt dels at diskutere forskellige faser i tilegnelsen af matematiske begreber - herunder grader af forståelse - og dels at diskutere nytten af at kunne formulere sig i et præcist og almindeligt anerkendt sprog.

Endelig skal det fremhæves, at man ikke må begrænse sig til at glæde sig over en opnået forståelse af tekstens indhold, men derudover må levere den personlige indsats, der er absolut påkrævet for at fastholde (»lære«) det, man har forstået.

II. Fællesfaget

I bekendtgørelsen er formålet med matematikundervisningen formuleret i to dele

a) at de studerende opnår nogle matematiske kundskaber, som kan være dem til nytte i andre fællesfag og i deres øvrige dagligdag,

b) at de studerende får et indtryk af matematisk metode og tankegang.

Ved valget af emner for undervisningen har man ladet punkt a) være afgørende, men emnevalget alene sikrer ikke, at det under punkt a) formulerede mål nås. Alle hidtidige erfaringer tyder på, at den praktiske relevans af et givet matematisk emne næppe erkendes, med mindre en eller flere anvendelsessituationer tages op til seriøs behandling i selve matematikundervisningen og i umiddelbar tilknytning til den rent matematiske behandling af emnet. I mange tilfælde vil en præsentation af sådanne situationer forud for den matematiske behandling kunne begrunde emnets tilstedeværelse i pensum og dermed virke ægte motiverende. Uanset valget af rækkefølge må det tillægges stor betydning, at man gennem talrige eksempler bl.a. får lejlighed til at beskæftige sig med de vanskeligheder, som betinges af forskelle i sprogbrug inden for matematikken og udenfor. Ligeledes kan man tage op, om matematikken er anvendt »neutralt«, eller om de matematiske hjælpemidler er misbrugt i en bestemt hensigt.

Formålets punkt b) vil kunne opfyldes i forbindelse med behandlingen af bekendtgørelsens emner ved at tilrettelægge forløb, der sikrer, at de studerende får indtryk af matematisk metode og tankegang.

For at kunne opfylde formålsparagraffen må den studerende blandt andet besidde en vis færdighed i manipulation med tal og symboler samt være fortrolig med procentregning.

Undervisningens tilrettelæggelse vedrører såvel det faglige indhold som den form, hvori tilegnelsen af dette faglige indhold opnås. Medens de studerende allerede ved starten af fællesfagsundervisningen vil kunne være medbestemmende ved udvælgelsen af arbejdsformer og undervisningsprincipper, vil de senere i forløbet også kunne inddrages i beslutninger, der vedrører det faglige indhold.

Bemærkninger til fællesfagets faglige punkter

Ad 1: Tal.

Der arbejdes med reglerne for regning med tal og bogstaver og anvendelsen af disse. Begreber fra mængdelære og logik medtages i det omfang, det er nødvendigt for behandlingen af talmængder og løsning af ligninger og uligheder.

Der kræves ikke kendskab til en formel for andengradsligningens løsning. Simple ligninger og uligheder er sådanne, som kan reduceres til ligninger og uligheder af første grad; dog skal ligninger og uligheder med produkt og kvotient mellem lineære udtryk ikke behandles.

Begrebet numerisk værdi må omtales af hensyn til andre fag og det almindelige arbejde med tallene; dog er det ikke tanken, at ligninger og uligheder med numerisk værdi skal gøres til genstand for behandling. Procentregning omfatter den almindelige renteformel og udregning af gennemsnit af procenter, hvortil et vist kendskab til n'te rod er nødvendigt. Følgende formler for opsparingsannuitet og gældsannuitet skal kendes og kunne anvendes

Opsparingsannuitet: An = a-r ((l+r)n-l).

Gældsannuitet: Gn = a-r (l-(l+r)-n).

Formlerne skal også kunne benyttes til beregning af en tilnærmet værdi for en ukendt rente r, fx i forbindelse med afbetalingshandel.

Ad 2: Funktionsbegrebet.

Det er tilstrækkeligt at behandle funktioner, hvis billedmængde består af tal. Under funktioners monotoniforhold behandles begreberne voksende og aftagende funktion samt en funktions største og mindste værdi inden for en given definitionsmængde.

Ad 3: Specielle funktioner: grafisk fremstilling.

Uanset, hvilken definition af lineær funktion der anvendes, kræves det ikke bevist, at denne er ækvivalent med andre beskrivelser af den lineære funktion.

Ved behandling af eksponentialfunktionen understreges dennes udstrakte rolle som beskrivelsesmiddel ved mange i praksis forekommende problemstillinger. Ved arbejdet med eksponentialfunktionen skal de studerende opnå forståelse af indholdet i funktionalligningen, og de skal gennem arbejdet med eksponentielt voksende og aftagende funktioner opnå fortrolighed med begreberne fordoblings- og halveringskonstant. Kursisterne skal kende funktionsforskriften f(x)=bax, og de skal kunne benytte log-funktionen til beregning af halverings- og fordoblingskonstant. Ligeledes skal de ved ved hjælp af log-funktionen og n'te rod kunne løse ligningen bax=c med hensyn til en af de indgående størrelser. Det er tanken, at log-funktionen ikke gives en selvstændig teoretisk behandling, men kun behandles i det omfang, der giver det nødvendige grundlag for ovenstående.

Forskellige måder at fastlægge en funktion på skal omfatte funktioner fastlagt ved en regneforskrift, ved tabel, ved graf samt funktioner, der er indbygget i en lommeregner. Behandlingen af funktioner fastlagt ved tabel og lommeregner skal blandt andet omfatte (l+r)n, annuitetstabeller og log-funktionen.

Med udgangspunkt i den forelagte beskrivelse af en funktion skal nogle af funktionens egenskaber behandles, og simple ligninger og uligheder, hvori funktionen indgår, løses.

I forbindelse med koordinatsystemer arbejdes også med eksempler på koordinatsystemer med »forskudte« akser og med koordinatsystemer med forskellige akseenheder.

Det forudsættes, at de studerende bliver fortrolige med brugen af enkeltlogaritmisk papir, herunder når til erkendelse af, at grafen for en eksponentielt voksende eller aftagende funktion på enkeltlogaritmisk papir er en ret linie.

Ad 4: Deskriptiv statistik

Begreberne hyppighed, frekvens, frekvensfordeling og kumuleret frekvensfordeling forventes klargjorte gennem arbejdet med eksempler på talmæssige beskrivelser af observationer. Under grafiske beskrivelsesmidler behandles bl.a. stolpediagram, histogram, trappediagram og sumpolygon. Statistiske deskriptorer omfatter begreberne middeltal (aritmetisk gennemsnit), typetal og fraktiler, herunder specielt medianen og de andre kvartiler.

Ad 5: Sandsynlighedsregning; statistik

Blandt eksemplerne på endelige sandsynlighedsfelter skal forekomme både symmetriske og ikke-symmetriske sandsynlighedsfelter. Begreber fra mængdelæren medtages i nødvendigt omfang til behandling af hændelser. Kombinatoriske metoder medtages til illustration af formlen for Kn,p med henblik på behandlingen af binomialfordelingen. De studerende skal kunne udregne Kn,p og anvende en tabel over Kn,p, ligesom de skal kunne beregne sandsynligheder i binomialfordelingen og anvende en tabel over kumulerede sandsynligheder for binomialfordelingen.

Ad 6: Regnetekniske hjælpemidler

Arbejdet med de regnetekniske hjælpemidler finder sted i forbindelse med behandlingen af de øvrige emner.

Brug af lommeregneren skal omfatte de fire regningsarter samt potensopløftning og roduddragning.

Det forudsættes, at der ud over behandlingen af de obligatoriske emner afsættes ca. 10 undervisningstimer til samarbejde med et eller flere andre fag, til arbejde med algoritmer og edb eller til uddybning af et af emnerne i punkterne 1-6. Det vil i samarbejdet med et eller flere andre fag ofte være naturligt at udvide behandlingen af de obligatoriske emner afpasset efter anvendelsessituationen, men det er ikke noget krav. Samarbejdet kan være et integreret arbejde med et eller flere fag (som fx samfundsfag, geografi, biologi, historie), men det kan også være et arbejde, hvor man i matematiktimerne beskæftiger sig med problemer fra andre fag, der benytter matematik som hjælpedisciplin.

III. TILVALGSFAGET

Af bekendtgørelsen fremgår, at formålet med matematikundervisningen er at give det faglige grundlag for at gennemføre videregående uddannelser, der anvender matematik.

Fællesfagets formål anvender betegnelsen »indtryk af«. I tilvalgsfagets formål er dette ændret til »kendskab til«. Heri ligger en afgørende forskel på fællesfaget og tilvalgsfaget, idet man i tilvalgsfaget må give en mere dybtgående behandling af en række begreber, metoder og tankegange.

Trods denne forskel gælder det også i arbejdet med tilvalgsfaget

- omend timeplanen ikke i så høj grad som i fællesfaget vil tillade det - at betydningen af et givet matematisk emne ofte bedst erkendes, når en eller flere anvendelsessituationer tages op til behandling i forbindelse med den matematiske behandling af emnet.

Visse emneområder eller delemner er obligatoriske både i fællesfaget og i tilvalgsfaget. Selv om sådanne emner allerede er behandlet i fællesfaget, vil det i visse situationer være nødvendigt at videreføre behandlingen i tilvalgsfaget. Det kan skyldes, at emnet på tilvalgsfaget tilføres nye betragtningsmåder og derfor skal tages op til fornyet behandling. (Eks.: logaritmefunktion). Det kan også skyldes, at de studerende gennem fællesfagsundervisningen har opnået »indtryk af« et emne, mens de gennem tilvalgsfagsundervisningen skal opnå »kendskab til« det pågældende emne. Behandlingen må derfor uddybes, selv om der ikke fremkommer nye synsmåder. (Eks.: uligheder).

Undervisningens tilrettelæggelse vedrører såvel det faglige indhold som den form, hvori indsigten i dette faglige indhold opnås. På baggrund af arbejdet med fællesfaget har de studerende her en større mulighed for at deltage, ikke alene i udvælgelsen af arbejdsformer og undervisningsprincipper, men også i beslutninger vedrørende det faglige indhold, fx den rækkefølge i hvilken emnerne behandles.

Ifølge bekendtgørelsen er det i faget matematik kun muligt at udarbejde den større skriftligt opgave for tilvalgsstuderende. Den studerende vælger under faglærerens rådgivning sit område inden for faget, og læreren stiller opgaven inden for det valgte område. Flere typer opgaver er naturligvis tænkelige, men tre typer er måske inden for faget matematik særligt nærliggende

1) Opgaven består af en serie delopgaver, hvis løsning fører frem til en sætning af en vis rækkevidde.

2) Opgaven tager sit udgangspunkt i et stykke teori, der ikke nødvendigvis beskrives i besvarelsen, og omfatter så i øvrigt løsning af en sammenhængende række problemer inden for det valgte emne.

3) Opgaven tager udgangspunkt i problemstillinger uden for matematikken, beskrevet i fx avis- eller tidsskriftartikler. Opgaven består da i en redegørelse for den matematiske teori, der ligger til grund for de praktiske problemer, en kontrol af den brug, der er gjort af de matematiske modeller og eventuelt løsning af yderligere problemer i tilknytning til emnet.

I denne forbindelse må der advares mod opgaver, der under en kort titel (fx »vektorbegrebet«) anmoder om en fremstilling af et stykke matematisk teori.

En større skriftlig opgave, der inddrager flere fag, herunder matematik, kan stilles, såfremt opgaven er knyttet sådan til et bestemt fag, at den naturligt kan bedømmes af en lærer i det pågældende fag.

Bemærkninger til tilvalgsfagets faglige punkter

Ad 1: Elementære funktioner

De under tilvalgsfaget obligatoriske »elementære funktioner« har slet ikke eller kun delvist været behandlet i fællesfagets undervisning. Undersøgelsen af disse funktioner må derfor påbegyndes eller genoptages i tilvalgsfaget. Dette arbejde vil ofte med fordel og på naturlig måde kunne ske i sammenhæng med og efterhånden som infinitesimalregningens emner indføres. Efter disse retningslinier kan fx andengradspolynomiet behandles.

Potensfunktioner behandles i et sådant omfang, at man kan omskrive rodstørrelser til potens med rational eksponent, med det formål at opnå lettelser ved regning med sådanne størrelser.

Under trigonometriske funktioner behandles sinus, cosinus og tangens.

Endvidere behandles numerisk værdi.

Åbent udsagn i to variable medtages i det omfang, det er fornødent for at kunne beskrive punktmængder i planen, der afgrænses af funktionsgrafer og rette linier.

Ad 2: Sandsynlighedsregning

I forbindelse med betinget sandsynlighed behandles afhængige og uafhængige hændelser. Formlerne for middelværdi og spredning af en binomialfordelt stokastisk variabel forudsættes behandlet.

Ad 3: Infinitesimalregning

Gennem passende valgte eksempler indføres begreberne grænseværdi og kontinuitet. De vigtigste sætninger om kontinuerte funktioner må, efterhånden som de bringes i anvendelse, belyses ved eksempler. Det er ikke tanken, at disse emner behandles eksakt.

IV. SELVSTUDERENDE

Vejledning af selvstuderende skal i almindelighed omfatte: Orientering om forudsætningerne for faget matematik på hf.

Redegørelse for, hvordan formål og indhold er beskrevet i bekendtgørelse og undervisningsvejledning.

Orientering om eksisterende lærebogsmateriale og inden for et valgt materiale hjælp til at afgrænse det obligatoriske pensum.

Redegørelse for, hvordan niveau og omfang fremgår af de vejledende opgaver, herunder eksamensopgaver.

I tilknytning hertil kan den faglige vejledning omfatte emner, der er af særlig interesse for den enkelte selvstuderende.

V. EKSAMEN

Form og omfang af eksamen er fastlagt i bekendtgørelsen. Pensums omfang fremgår dels af bekendtgørelsens faglige afsnit, dels af denne undervisningsvejledning og endelig af vejledende opgaver.

VEJLEDENDE OPGAVER

Opgaverne er inden for de emner, der er specielle for forsøget. Med hensyn til de emner, der er fælles med gældende bekendtgørelse, henvises til sædvanlige vejledende opgaver og stillede eksamenssæt.

1.

2. Data General indtog sin stilling på denne mulighedernes slagmark i 1968 som en »minidatavirksomhed«. Ved udgangen af 1978 kunne denne i stigende grad lidet oplysende betegnelse i en vis udstrækning hæftes på omkring halvtreds virksomheder. Deres vigtigste, men under ingen omstændigheder eneste aktivitet, fremstilling og salg af små datamater, var vokset bemærkelsesværdigt - fra en omsætning på 150 millioner dollars i 1968 til omkring 3,5 milliarder dollars i 1978 - og de fleste involverede parter mente, at den fortsat ville stige med omkring 30 procent om året.'

Det viste udklip er fra Tracy Kidders bog »Maskinen«. Det omtales, hvordan omsætningen for firmaet Data General er vokset fra 1968 til 1978.

Beregn den gennemsnitlige årlige procentvise stigning i omsætningen i denne periode.

3. Udklippet vedrørende sodavandssalget stammer fra POLITIKEN den 30. maj 1984.

Undersøg, om det er korrekt, at det gennemsnitlige procentvise fald pr. måned i salget af sodavand har været 24 pct. i perioden januar-marts.

Beregn den gennemsnitlige procentvise ændring pr. måned for perioden december-marts.

Mindre salg

af sodavand

»Sodavandsafgiften fra 1. januar i år førte til et gennemsnitlig fald i salget på 24 pct.. i årets første tre måneder. I december sidste år steg salget 48 pct.. I januar i år faldt det med 39 pct.. Faldet i februar og marts i år var henholdsvis 15 og 18 pct.. Det oplyser skatte- og afgiftsminister Isi Foighel (K) i et svar til Folketingets skatte- og afgiftsudvalg.«

4. Det viste udklip er en del af en artikel »Vi bliver så mange at livet er truet« Jyllandsposten den 23. juli 1984.

Bestem den gennemsnitlige årlige procentvise stigning af verdensbefolkningen i perioden 1974-1984, idet oplysningerne i udklippet anvendes.

»Ifølge FNs beregninger er den nuværende verdensbefolkning på 4,76 milliarder mennesker, en stigning på 770 millioner siden 1974. I år 2000 ventes det, at Jordens befolkning vil være nået op på 6,13 milliarder«

5. Ligningschef i Statsskattedirektoratet, A. Bernth Pedersen, siger imidlertid nu til Politiken

- Den vigende tendens i priserne har været konstant i en så lang periode at det kan konstateres, at prisstigningerne er stoppet, og det vil helt klart få indvirkning på den 17. almindelige vurdering, der skal foretages pr. 1. april i år. En række prøvevurderinger er i gang, men resultatet kendes først i næste måned. Statsskattedirektoratet skønner imidlertid på baggrund af opgørelser over salgspriser, at ejendomsværdien for f.eks. parcelhuse gennemsnitlig kun vil blive forhøjet med 45 procent. Ved 16. almindelige vurdering steg ejendomsværdien for parcelhuse gennemsnitlig med 79 procent.'

Det viste udklip stammer fra Politiken i januar 1981 og omhandler de almindelige vurderinger af parcelhuse, der foretages hver fjerde år. Det fremgår, at ved 16. almindelige vurdering blev ejendomsvurderingen forhøjet med ca. 79 pct., mens den ved 17. almindelige vurdering forventes forhøjet med ca. 45 pct.

Hvilken gennemsnitlig årlig procentvis stigning svarer hver af disse forhøjelser til?

6. (Opgave 6 udeladt)

7. En funktion f har forskriften f(x)=b.ax, x tilhører mængden R.

Bestem a og b (3 dec.), idet f(2)=3 og f(2,5)=4. Bestem

fordoblingskonstanten for f (3 dec.).

8. Løs ligningen 3,7.5,2x=0,9 .

9. Det viste udklip stammer fra Berlingske Tidende. I det følgende antages, at indbyggertallet i Mexico City er eksponentielt voksende, samt at udklippets forudsigelse holder.

Bestem en forskrift for den funktion f. der beskriver indbyggertallet i Mexico City som funktion af tiden målt i år efter 1950.

Bestem fordoblingstiden for indbyggertallet i Mexico City.

Hvor mange procent (helt tal) vokser indbyggertallet i Mexico City i løbet af 10 år?

Overbefolkning

COLOMBO: Overbefolkningen vil få indbyggertallet i de i forvejen overbefolkede storbyer til at eksplodere inden århundredskiftet, hvis det ikke lykkes at standse flugten fra land til by, fremgår det af en rapport til en FN befolkningskonference i Colombo på Sri Lanka. Den alvorligst truede by er Mexico City, der i 1950 havde 2,9 millioner indbyggere. Den vil i år 2000 have 31,6 millioner. (AP)

10. Den samlede verdensproduktion af metallet cadmium var 5,5 tusinde tons i 1950. Produktionen blev fordoblet i løbet af de følgende 10 år. Det antages, at årsproduktionen af cadmium øgedes eksponentielt.

Hvilken årsproduktion af cadmium ville man på denne baggrund forvente, at der var i henholdsvis 1970 og 1980?

Det har vist sig, at antagelsen om eksponentiel vækst med fordoblingstiden 10 år var i overensstemmelse med de faktiske forhold indtil 1970. Siden 1970 har væksten også været eksponentiel, men verdensproduktionen i 1980 blev 50 tusinde tons.

Bestem en forskrift for den funktion, der beskriver den årlige produktion af cadmium som funktion af tiden, angivet i år efter 1950.

11. Ændringen i prisen på sommerhuse i perioden 1970-1980 fremgår af følgende indextal

1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 ------------------------------------------------------ 91 100 119 153 183 195 222 262 315 356 361

Et sommerhus kostede 125.000 kr. i 1973.

Hvilken pris i 1980 svarer det til?

Bestem indextallene for årene 1970-1980, idet indextallene for 1976 sættes til 100.

12. Det viste klip stammer fra bladet »Management«, august 1984, og handler om udviklingen i ØK's koncernomsætning.

Bestem på grundlag af oplysningerne i udklippet prisindeks for året 1983, når indeks for året 1973 sættes til 100.

ØK's koncernomsætning udgjorde i 1973 ca. 17.5 mia. kroner, og 10 år senere var omsætningen 16,9 mia. kr. I denne periode er priserne næsten tredoblede, og målt i 1973-priser er omsætningen derfor faldet dramatisk - fra 17,5 mia. til 6,2 mia. kr.

13. Et firma havde i 1970 et overskud på 800.000 kr. og i 1980 et overskud på 2,4 millioner kr.

Det antages, at firmaets overskud i perioden 1970-1980 er vokset eksponentielt.

Bestem den årlige procentvise vækst i overskuddet (1 dec.).

Imidlertid har kronens købekraft ændret sig i denne årrække.

Hvis prisindeks for 1970 sættes til 145, er indekstallet 372 for

1980.

Beregn værdien af overskuddet fra 1970 omsat til 1980-kroner.

Benyt dette til en ny vurdering af den gennemsnitlige årlige procentvise vækst i firmaets overskud.

14. Pr. 1/1 1982 blev der oprettet en lejekontrakt, hvor den månedlige husleje var 2500 kr. Det blev aftalt, at huslejen hvert år skulle indeksreguleres efter reguleringspristallet. Reguleringspristallet var 119,1, pr. 1/1 1982, og det var 146,3 pr. 1/1 1985.

Hvor stor var den månedlige husleje pr. 1/1 1985?

Bestem reguleringspristallet pr. 1/1 1984, når det oplyses, at huslejen pr. 1/1 1984 var 2903,00 kr.

15. Den seneste udvikling i huspriser og indkomster

%-vis ændring i forhold til sam~ me kvartal 2.kv.83 3.kv.83 4.kv.83 1.kv.84 2.kv.84 3.kv.84 sidste år --------------------------------------------------------------------- Samlet anskaffel- sessum (hus + grund) 695.000 710.400 722.600 734.200 754.960 776.335 + 9,3 --------------------------------------------------------------------- Samlet husstands- indkomst 285.783 288.639 291.525 293.801 296.496 299.988 + 3,9 + Samlet beskat- ning incl. ejendoms- skatter 73.907 75.014 76.150 80.605 77.974 79.595 + 6,1 + 1. års ydelse realkredit- og bolig- lån 95.926 96.782 97.890 94.406 103.697 105.162 + 8,7 - Udgift til op- varmning 9.780 9.870 10.170 10.890 10.410 10.260 + 4,0 --------------------------------------------------------------------- Husstan- dens rest- indkomst i årets priser 106.170 106.973 107.315 107.896 104.417 104.972 + 1,9 Husstan- dens rest- indkomst i faste priser (kø- bekraft) 64.190 64.209 62.794 62.261 54.430 59.139 + 7,9 (1.kv. 1978 = 100) --------------------------------------------------------------------- Indeks for 1. års nettobolig- udgift 103,8 105,8 107,7 105,5 114,3 116,3 + 9,9 (1.kv. 1978 = 100) ---------------------------------------------------------------------

Tabel 1. Kreditforeningen Danmarks parcelhusindeks.

Den viste tabel er fra et dagblad og viser Kreditforeningen Danmarks parcelhusindeks.

En familie bygger et hus, der bliver færdigt i 3. kvartal 84, og de får en 1. års nettoboligudgift på 125.700 kr.

Hvor stor ville denne udgift ifølge indekset have været, hvis de havde bygget et år tidligere?

Opstil og færdigudfyld en tabel som nedenstående, der giver indeks for samlet anskaffelsessum (hus + grund).

2.kv.83 3.kv.83 4.kv.83 1.kv.84 2.kv.84 3.kv.84 --------------------------------------------------------------------- Indeks for samlet anskaffelsessum (hus + grund) 100 109,3

16. I Skanderborg kommune er vælgerne fordelt på to områder, Skanderborg by og Skanderborg landdistrikt.

Ved kommunevalget i 1978 fordelte stemmerne sig med 60,6% i Skanderborg by og 39,4% i Skanderborg landdistrikt.

Partiet Venstre fik 28,4% af stemmerne i Skanderborg by og 39,8% af stemmerne i Skanderborg landdistrikt.

Hvor mange procent af stemmerne fik Venstre i Skanderborg kommune som helhed?

Hvor mange procent af Venstres stemmer blev afgivet i Skanderborg by?

17. Inden for AB0-blodtypesystemet er fordelingen således

Blodtype 0 A B AB ------------------------------------- Procent af befolkningen 42 44 10 4

Undersøgelser viser, at mavesår er hyppigst hos personer med blodtype 0.

Hos 7,3% af de personer, der har blodtype 0, forekommer symptomgivende mavesår, mens det for hver af de andre blodtyper forekommer hos 5,2%.

Hos hvor mange procent af befolkningen forekommer symptomgivende mavesår?

Bestem den procentdel af personerne med symptomgivende mavesår, der har blodtype A.

18. Diagnose af sygdommen yverbetændelse hos malkekøer kan foregå ved måling af laktoseindholdet i mælken. Metoden er imidlertid ikke helt sikker, idet der for raske køer gælder, at 6% af dem vil blive erklæret syge ved anvendelse af metoden, mens 7% af de køer, der har sygdommen, vil blive erklæret raske.

Et stort antal køer undersøges for yverbetændelse med en sikker, men langt dyrere metode, og det viser sig, 4% af dem lider af yverbetændelse.

Hvilken procentdel af de undersøgte køer ville være blevet erklæret henholdsvis raske og syge, hvis undersøgelsen i stedet var foretaget med laktosemetoden?

19. Ved sidste valg fordelte de afgivne stemmer i en kommune sig på tre afstemningssteder på følgende måde

afstemningssted I II III

Procent af af-

givne stemmer 43,7% 24,6% 31,7%

Et bestemt parti fik 14,2% af stemmerne ved afstemningssted I, 16,1% af stemmerne ved afstemningssted II og 6,3% af stemmerne ved afstemningssted III.

Hvor mange procent af stemmerne fik partiet i kommunen som helhed?

Partiet havde håbet på som helhed at få 13% af stemmerne i kommunen, men resultatet ved afstemningssted III var skuffende.

Hvor mange procent af stemmerne ved afstemningssted III skulle partiet have haft, for at resultatet som helhed var blevet 13%?

20. En fabrik producerer en bestemt vare på to maskiner A og B.

Produktionen fordeler sig med 62% på maskine A og 38% på maskine B. Imidlertid er 4,1% af varerne produceret på maskine A defekte, mens 9,2% af varerne produceret på maskine B er defekte.

Hvor mange procent af den samlede produktion er defekte?

Hvor mange procent af de defekte varer er produceret på maskine B?

Man overvejer at forbedre maskine B, så dens fejlprocent nedsættes.

Hvor stor en fejlprocent for maskine B kan man acceptere, hvis den samlede produktion højest må indeholde 5% defekte?

21. En ung mand vil købe en bil på afbetaling. Han kan betale 15.000 kr. i udbetaling og dernæst 600 kr. pr. måned startende en måned efter købet. Afbetalingsrenten er 2,25% pr. måned.

Hvor dyr en bil kan han købe, hvis han betaler bilen over

1) 36 måneder?

2) 60 måneder?

22. - Hvis lønnen og overskuddet af virksomheden ikke kan dække forbruget, forøges gælden hastigt. Hvis der løbende skal lånes 10.000 kroner årligt til dækning af privatforbruget, vil hovedstolen med en rente på 18 procent om året være godt 87.000 kroner efter fem år.

Udklippet stammer fra en artikel i Aarhus Stifttidende den 28.11.1981 og handler om den situation, hvor en familie må låne til privatforbruget.

Bestem gælden efter 5 år, og sammenlign med artiklens oplysning om denne.

23. En dreng ønsker at købe en ny cykel. Han kan betale 500 kr. i udbetaling og 50 kr. om måneden i de efterfølgende 24 måneder startende en måned efter købet.

Hvor dyr en cykel kan han købe, når den månedlige rente hos forhandleren er 2 1/2%?

24. I 10 år indsættes hvert år 1500 kr. på en konto, og pengene hæves efter at de sidste 1500 er indsat.

I hele perioden er renten 8% p.a.

Hvor stort et beløb hæves?

25. Lad os tage et eksempel, hvor kunden køber en ny bil til 80.000 kr. Den gamle bil indgår i handelen med 20.000 kr., således at der skal finansieres 60.000 kr.

xxx kr. i 36 mdr. hos forhandleren

Finansiering hos bilforhandleren vil normalt være over tre år og typisk til en månedlig rente på 2,2%. Køberen i eksemplet skal her betale xxx kr. pr. måned i ydelse. Renterne er fradragsberettiget, hvilket betyder, at nettoydelsen ved en marginalskatteprocent på 60 bliver 1.725 kr. pr. måned.

Udklippene er fra en artikel om finansiering af bilkøb i Jyllandsposten den 3. april 1983.

To steder er et beløb overstreget.

Bestem dette beløb.

26. Et pantebrev på 50.000 kr. har en halvårlig rente på 4%.

De 50.000 kr. forrentes og afdrages med en fast halvårlig ydelse på 3.000 kr.

Hvor mange år varer det, inden lånet er afdraget?

27. I det viste udklip fra en brochure gives et afbetalingseksempel ved køb af en reol.

Det kan antages, at de 6 månedlige betalinger falder med en måneds mellemrum startende en måned efter købet.

Bestem den månedlige rente i procent (1 dec.).

28. Abonnementsprisen på en bestemt avis er 1024 kr. for et år og 284 kr. for et kvartal. I begge tilfælde betales forud.

Der er derfor disse to muligheder for betaling af et års abonnement på denne avis

Efter 1 Efter 2 Efter 3 kvartal kvartaler kvartaler Nu betales betales betales betales --------------------------------------------------------------------- Ved årlig betaling 1042 kr. - - - --------------------------------------------------------------------- Ved kvartalsvis betaling 284 kr. 284 kr. 284 kr. 284 kr. ---------------------------------------------------------------------

Ved kvartalsvis betaling slipper man billigere i første omgang, men skal alt i alt betale et større beløb. Dette kan opfattes på den måde, at man betaler rente til avisen for at udskyde betalingerne.

Bestem den procentvise rente pr. kvartal (1 dec.).

29. I det viste udklip fra en brochure gives et afbetalingseksempel ved køb af nogle havemøbler. Det antages, at de månedlige betalinger falder med en måneds mellemrum startende en måned efter købet.

Bestem den månedlige rente i procent (1 dec.).

En køber ønsker i stedet at udbetale 100 kr. og betale resten over 12 mdr.

Bestem den månedlige betaling, når den månedlige rente skal være uændret.

Skrivelse om standardforsøg i matematik fællesfag og tilvalgsfag på HF