Undervisningsvejledning for matematik på HF

Undervisningsvejledning for matematik på HF

Indholdsoversigt

I. Almindelige bemærkninger.

II. Fællesfaget.

III. Tilvalgsfaget.

IV. Selvstuderende.

V. Eksamen.

I. Almindelige bemærkninger.

Såvel lærer som studerende deltager i undervisningens tilrettelæggelse , og det er et fælles ansvar for lærer og studerende, at undervisningen bliver tilrettelagt på en for alle tilfredsstillende måde. Det er dog lærerens ansvar, at denne tilrettelæggelse bliver sådan, at bekendtgørelsens minimumskrav vil kunne opfyldes.

Faget lægger op til forskellige arbejdsformer fra individuelle former over forskellige gruppeprægede former til en arbejdsform, hvor hele klassen er engageret samtidig i samme situation; ingen af disse former vil dog være velegnet til alle dele af stoffet.

Ifølge bekendtgørelsen om højere forberedelseseksamen § 13, stk. 2 skal undervisningen omfatte træning i studiemetodik. I forbindelse med tilegnelsen af en matematisk tekst kan man pege på, at læseren kan have udbytte af at stille sig spørgsmål som

Hvilket problem behandles, og hvor er problemet formuleret? Hvor bearbejdes problemet, og hvor er en eventuel løsning formuleret? Hvilke dele af teksten er eksempler til belysning af problemet?

Det kan endvidere være naturligt at pege på, at man i arbejdet såvel med matematiske emner som i arbejdet med problemer, hvor matematikken optræder som et hjælpemiddel, må have en vurderende holdning til teksten: Hvilke konklusioner drages? Er grundlaget for anvendelsen af de matematiske begreber tilstrækkeligt?

I matematikundervisningen vil det være naturligt dels at diskutere forskellige faser i tilegnelsen af matematiske begreber - herunder grader af forståelse - og dels at diskutere nytten af at kunne formulere sig i et præcist og almindeligt anerkendt sprog.

Endelig skal det fremhæves, at man ikke må begrænse sig til at glæde sig over en opnået forståelse af tekstens indhold, men derudover må levere den personlige indsats, der er absolut påkrævet for at fastholde (»lære«) det, man har forstået.

II. Fællesfaget.

I bekendtgørelsen er formålet med matematikundervisningen formuleret i to dele: a) at de studerende opnår nogle matematiske kundskaber, som kan være dem til nytte i andre fællesfag og i deres øvrige dagligdag, b) at de studerende får et indtryk af matematisk metode og tankegang.

Ved valget af emner for undervisningen har man ladet punkt a) være afgørende, men emnevalget alene sikrer ikke, at det under punkt a) formulerede mål nås. Alle hidtidige erfaringer tyder på, at den praktiske relevans af et givet matematisk emne næppe erkendes, med mindre en eller flere anvendelsessituationer tages op til seriøs behandling i selve matematikundervisningen og i umiddelbar tilknytning til den rent matematiske behandling af emnet. I mange tilfælde vil en præsentation af sådanne situationer forud for den matematiske behandling kunne begrunde emnets tilstedeværelse i pensum og dermed virke ægte motiverende. Uanset valget af rækkefølge må det tillægges stor betydning, at man gennem talrige eksempler bl.a. får lejlighed til at beskæftige sig med de vanskeligheder, som betinges af forskelle i sprogbrug inden for matematikken og udenfor. Ligeledes kan man tage op, om matematikken er anvendt neutralt, eller om de matematiske hjælpemidler er misbrugt i en bestemt hensigt.

Formålets punkt b) vil kunne opfyldes i forbindelse med behandlingen af bekendtgørelsens emner ved at tilrettelægge forløb, der sikrer, at de studerende får indtryk af matematisk metode og tankegang.

For at kunne opfylde formålsparagraffen må den studerende blandt andet besidde en vis færdighed i manipulation med tal og symboler samt være fortrolig med procentregning.

Undervisningens tilrettelæggelse vedrører såvel det faglige indhold som den form, hvori tilegnelsen af dette faglige indhold opnås. Medens de studerende allerede ved starten af fællesfagsundervisningen vil kunne være medbestemmende ved udvælgelsen af arbejdsformer og undervisningsprincipper, vil de senere i forløbet også kunne inddrages i beslutninger, der vedrører det faglige indhold. Dette vil især gælde ved beslutningen om anvendelsen af de frie timer.

Bemærkninger til fællesfagets faglige punkter.

Ad 1: Begreber fra mængdelære og logik; kombinatorik.

De almene begreber fra mængdelære og logik tænkes benyttet som et middel til klargørelse af grundlæggende begreber og ræsonnementer og som grundlag for en præcis matematisk udtryksmåde. Begreber fra logikken og andre begreber fra mængdelæren end de i bekendtgørelsen nævnte som fx foreningsmængde og fællesmængde kan defineres i forbindelse med behandlingen af andre emner, hvor man har mulighed for at benytte disse almene begreber.

Der kræves ikke kendskab til en formel for andengradsligningens løsning. Simple uligheder er sådanne, som kan reduceres til uligheder af første grad. Begrebet numerisk værdi må omtales af hensyn til andre fag og det almindelige arbejde med tallene; det er dog ikke tanken, at ligninger og uligheder, hvori indgår numerisk værdi, skal gøres til genstand for behandling.

De studerende skal i ikke for komplicerede sammenhænge kunne anvende multiplikationsprincippet og formlen for Kn,p. Der kræves ikke noget alment bevis for denne formel, men ideen bag et bevis illustreres ved passende valgte eksempler. De studerende skal endvidere kunne anvende en tabel over Kn,p.

Ad 2: Funktionsbegrebet.

Det er tilstrækkeligt at behandle funktioner, hvis billedmængde består af tal. Under funktioners monotoniforhold behandles begreberne voksende og aftagende funktion samt en funktions største og mindste værdi inden for en given definitionsmængde.

Ad 3: Specielle funktioner; grafisk fremstilling.

Uanset, hvilken definition af lineær funktion der anvendes, kræves det ikke bevist, at denne er ækvivalent med andre beskrivelser af den lineære funktion.

Ved behandling af eksponentialfunktionen understreges dennes udstrakte rolle som beskrivelsesmiddel ved mange i praksis forekommende problemstillinger. Ved arbejdet med eksponentialfunktionen skal de studerende opnå forståelse af indholdet i funktionalligningen, og de skal gennem arbejdet med eksponentielt voksende og aftagende funktioner opnå fortrolighed med begreberne fordoblings- og halveringskonstant.

Forskellige måder at fastlægge en funktion på skal omfatte funktioner fastlagt ved en regneforskrift, ved tabel, ved graf samt funktioner, der er indbygget i en lommeregner.

Behandlingen af funktioner fastlagt ved tabel skal blandt andet omfatte (l+r) exp n.

Som eksempler på funktioner indbygget i en lommeregner skal sin, cos, tan og (l+r) exp n. behandles.

Med udgangspunkt i den forelagte beskrivelse af en funktion skal nogle af funktionens egenskaber behandles, og simple ligninger og uligheder, hvori funktionen indgår, løses.

I forbindelse med koordinatsystemer arbejdes også med eksempler på koordinatsystemer med forskudte akser og med koordinatsystemer med forskellige akseenheder.

Det forudsættes, at de studerende bliver fortrolige med brugen af enkeltlogaritmisk papir, herunder når til erkendelse af, at grafen for en eksponentielt voksende eller aftagende funktion på enkeltlogaritmisk papir er en ret linie.

Ad 4: Deskriptiv statistik.

Begreberne hyppighed, frekvens, frekvensfordeling og kumuleret frekvensfordeling forventes klargjorte gennem arbejdet med eksempler på talmæssige beskrivelser af observationer. Under grafiske beskrivelsesmidler behandles bl.a. stolpediagram, histogram, trappediagram og sumpolygon. Statistiske deskriptorer omfatter begreberne middeltal (aritmetisk gennemsnit), typetal og fraktiler, herunder specielt medianen og de andre kvartiler.

Ad 5: Sandsynlighedsregning; statistik.

Blandt eksemplerne på endelige sandsynlighedsfelter skal forekomme både symmetriske og ikke-symmetriske sandsynlighedsfelter.

Det forventes, at de studerende gennem eksempler gøres bekendt med stikprøveudtagning såvel med som uden tilbagelægning. Behandlingen af binomialtest kan indskrænkes til simple eksempler. De studerende skal kunne anvende en tabel over kumulerede sandsynligheder til brug ved arbejdet med binomialtest og ved beregning af de enkelte sandsynligheder i fordelingen.

Ad 6: Regnetekniske hjælpemidler.

Arbejdet med de regnetekniske hjælpemidler finder sted i forbindelse med behandlingen af de øvrige emner.

Brug af lommeregneren skal omfatte de fire regningsarter samt potensopløftning og roduddragning.

ad 7: Frie timer.

I bekendtgørelsen er der beskrevet to mulige anvendelser af de 20 frie timer

a) Samarbejde med et eller flere andre fag.

b) Uddybning af et af emnerne i punkterne 1 - 6.

Blandt de emner, der med størst udbytte kan tages op til behandling i de frie timer, kan nævnes problemer, som de studerende vil kunne formulere på baggrund af deres arbejde i andre fag.

ad a): Det vil i samarbejdet med et eller flere andre fag ofte være naturligt at udvide behandlingen af de obligatoriske emner afpasset efter anvendelsessituationen, men det er ikke noget krav. Samarbejdet kan være et integreret arbejde med et eller flere fag (som fx samfundsfag, geografi, biologi, historie), men det kan også være et arbejde, hvor man i matematiktimerne beskæftiger sig med problemer fra andre fag, der benytter matematik som hjælpedisciplin.

ad b): Det er en forudsætning, at det pågældende emne er færdigbehandlet på det tidspunkt, hvor de 20 timer starter. Hovedvægten skal i de frie timer lægges på en behandling, der rækker ud over det obligatoriske pensum.

Algoritmer og edb kan behandles som en uddybning af punkt 6 eller indgå i samarbejdet med et eller flere andre fag.

III. TILVALGSFAGET.

Af bekendtgørelsen fremgår, at formålet med matematikundervisningen er at give det faglige grundlag for at gennemføre videregående uddannelser, der anvender matematik.

Fællesfagets formål anvender betegnelsen »indtryk af«. I tilvalgsfagets formål er dette ændret til »kendskab« til. Heri ligger en afgørende forskel på fællesfaget og tilvalgsfaget, idet man i tilvalgsfaget må give en mere dybtgående behandling af en række begreber, metoder og tankegange.

Trods denne forskel gælder det også i arbejdet med tilvalgsfaget - omend timeplanen ikke i så høj grad som i fællesfaget vil tillade det - at betydningen af et givet matematisk emne ofte bedst erkendes, når en eller flere anvendelsessituationer tages op til behandling i forbindelse med den matematiske behandling af emnet.

Visse emneområder eller delemner er obligatoriske både i fællesfaget og i tilvalgsfaget. Selv om sådanne emner allerede er behandlet i fællesfaget, vil det i visse situationer være nødvendigt at videreføre behandlingen i tilvalgsfaget. Det kan skyldes, at emnet på tilvalgsfaget tilføres nye betragtningsmåder og derfor skal tages op til fornyet behandling. (Eks.: eksponentialfunktion). Det kan også skyldes, at de studerende gennem fællesfagsundervisningen har opnået »indtryk« af et emne, mens de gennem tilvalgsfagsundervisningen skal opnå »kendskab til« det pågældende emne. Behandlingen må derfor uddybes, selv om der ikke fremkommer nye synsmåder. (Eks.: uligheder).

Undervisningens tilrettelæggelse vedrører såvel det faglige indhold som den form, hvori indsigten i dette faglige indhold opnås. På baggrund af arbejdet med fællesfaget har de studerende her en større mulighed for at deltage, ikke alene i udvælgelsen af arbejdsformer og undervisningsprincipper, men også i beslutninger vedrørende det faglige indhold, fx den rækkefølge i hvilken emnerne behandles.

Ifølge bekendtgørelsen er det i faget matematik kun muligt at udarbejde den større skriftlige opgave for tilvalgsstuderende. Den studerende vælger under faglærerens rådgivning sit område inden for faget, og læreren stiller opgaven inden for det valgte område. Flere typer opgaver er naturligvis tænkelige, men tre typer er måske inden for faget matematik særligt nærliggende

1) Opgaven består af en serie delopgaver, hvis løsning fører frem til en sætning af en vis rækkevidde.

2) Opgaven tager sit udgangspunkt i et stykke teori, der ikke nødvendigvis beskrives i besvarelsen, og omfatter så i øvrigt løsning af en sammenhængende række problemer inden for det valgte emne.

3) Opgaven tager udgangspunkt i problemstillinger uden for matematikken, beskrevet i fx avis- eller tidsskriftartikler. Opgaven består da i en redegørelse for den matematiske teori, der ligger til grund for de praktiske problemer, en kontrol af den brug, der er gjort af de matematiske modeller og eventuelt løsning af yderligere problemer i tilknytning til emnet.

I denne forbindelse må der advares mod opgaver, der under en kort titel (fx vektorbegrebet) anmoder om en fremstilling af et stykke matematisk teori.

En større skriftlig opgave, der inddrager flere fag, herunder matematik, kan stilles, såfremt opgaven er knyttet sådan til et bestemt fag, at den naturligt kan bedømmes af en lærer i det pågældende fag.

Bemærkninger til tilvalgsfagets faglige punkter.

Ad 1: Elementære funktioner.

De under tilvalgsfaget obligatoriske elementære funktioner har slet ikke eller kun delvist været behandlet i fællesfagets undervisning. Undersøgelsen af disse funktioner må derfor påbegyndes eller genoptages i tilvalgsfaget. Dette arbejde vil ofte med fordel og på naturlig måde kunne ske i sammenhæng med og efterhånden som infinitesimalregningens emner indføres. Efter disse retningslinier kan fx andengradspolynomiet behandles.

Potensfunktioner behandles i et sådant omfang, at man kan omskrive rodstørrelser til potens med rational eksponent, med det formål at opnå lettelser ved regning med sådanne størrelser.

Under trigonometriske funktioner behandles sinus, cosinus og tangens.

Endvidere behandles numerisk værdi.

Åbent udsagn i to variable medtages i det omfang, det er fornødent for at kunne beskrive punktmængder i planen, der afgrænses af funktionsgrafer og rette linier.

Ad 2: Sandsynlighedsregning.

I forbindelse med betinget sandsynlighed behandles afhængige og uafhængige hændelser. Formlerne for middelværdi og spredning af en binomialfordelt stokastisk variabel forudsættes behandlet.

Ad 3: Infinitesimalregning.

Gennem passende valgte eksempler indføres begreberne grænseværdi og kontinuitet. De vigtigste sætninger om kontinuerte funktioner må, efterhånden som de bringes i anvendelse, belyses ved eksempler. Det er ikke tanken, at disse emner behandles eksakt.

IV SELVSTUDERENDE.

Vejledning af selvstuderende skal i almindelighed omfatte

Orientering om forudsætningerne for faget matematik på hf.

Redegørelse for, hvordan formål og indhold er beskrevet i bekendtgørelse og undervisningsvejledning.

Orientering om eksisterende lærebogsmateriale og inden for et valgt materiale hjælp til at afgrænse det obligatoriske pensum.

Redegørelse for, hvordan niveau og omfang fremgår af de vejledende opgaver, herunder eksamensopgaver.

I tilknytning hertil kan den faglige vejledning omfatte emner, der er af særlig interesse for den enkelte selvstuderende.

V. EKSAMEN.

Form og omfang af eksamen er fastlagt i bekendtgørelsen. Pensums omfang fremgår dels af bekendtgørelsens faglige afsnit, dels af denne undervisningsvejledning og endelig af vejledende opgaver. P.d.v. Ib Fischer Hansen undervisningsinspektør