Teknisk forskrift vedr. Områdespecifikke krav: Bestemmelse af måleusikkerhed (Teknisk forskrift 3.3.03-2)

Teknisk forskrift vedr. Områdespecifikke krav: Bestemmelse af måleusikkerhed

(Teknisk forskrift 3.3.03-2)

I medfør af §10, stk. 2 i lov nr. 394 af 13. juni 1990 om erhvervsfremme samt §1 i Industriministeriets bekendtgørelse nr. 73 af 30. januar 1992 om henlæggelse af visse beføjelser til Industri- og Handelsstyrelsen fastsættes

1. Gyldighedsområde.

Denne tekniske forskrift finder anvendelse på alle laboratorier, som er akkrediteret af Dansk Akkreditering (DANAK) til at udføre kalibrering.

2. Formål.

Forskriften fastlægger hvorledes, kravene i DS/EN45001, kap. 5.4.1 og 5.4.3 vedrørende prøvningsmetoder, procedurer og prøvningsrapporter skal suppleres for at sikre, at akkrediterede kalibreringslaboratorier overholder de af WECC (Western European Calibration Cooperation) fastlagte krav til bestemmelse af måleusikkerhed.

3. Krav ved bestemmelse af måleusikkerhed.

Akkrediterede kalibreringslaboratorier skal ved bestemmelse af måleusikkerhed følge de retningslinier, der er beskrevet i dokumentet

WECC DOC. 19-1990: Retningslinier for angivelse af måleusikkerhed ved kalibreringer,

som er bilag til denne tekniske forskrift. Dokumentet er en dansk oversættelse af WECC Doc 19-1990 »Guidelines for the Expression of the Uncertainty of Measurement in Calibrations«.

4. Ikrafttræden.

Denne tekniske forskrift træder i kraft den 26. august 1993 og erstatter tidligere forskrift af 17. december 1992.

Erhvervsfremme Styrelsen

Kurt Steen Jakobsen

Bilag | Retningslinier for angivelse af måleusikkerhed | | ved kalibreringer. | | | WECC DOC.19-1990: Guidelines for the Expression of the Uncertainty of Measurement in Calibrations

0. Forord.

0.1 Western European Calibration Cooperation (WECC) er betegnelsen for samarbejdet mellem de nationale kalibreringslaboratoriers akkrediteringsorganer (i det følgende kaldet akkrediteringsorganer), som opererer i Europa. Samarbejdet begyndte i 1975 og er baseret på »Memorandum of Understanding« (WECC Doc. 20).

EUROMET, det europæiske samarbejde om målenormaler, sikrer et fælles måleteknisk grundlag for WECC's kalibreringsaktiviteter. Formålet med WECC er at opbygge og opretholde gensidig tillid mellem de forskellige akkrediteringsorganer med henblik på at nå frem til en gensidig aftale om ækvivalensen af akkrediteringsorganernes drift og af de certifikater, som udstedes af de akkrediterede laboratorier. Dette bidrager til at fjerne de tekniske handelshindringer, der har relation til kalibrering.

Et yderligere mål for WECC er at åbne og opretholde kanaler for en fortsat udveksling af know-how mellem de deltagende akkrediteringsorganer, således at man kan etablere et fælles højt måleteknisk niveau. Et af de midler, WECC benytter for at nå disse mål, er publicering af kriterierne for akkrediteringsorganernes virksomhed. Disse kriterier, som harmoniseres med de europæiske standarder om akkreditering af laboratorier, især EN 45001, EN 45002 og EN 45003, opstiller de nøjagtige krav, der stilles til kalibreringslaboratorier, deres bedømmelse, akkreditering og tilsyn. De indeholder desuden procedurer for, hvordan medlemsorganerne holdes orienteret om hinandens aktiviteter. De gældende WECC dokumenter er anført i den seneste udgave af WECC Doc.01.

0.2 En nødvendig forudsætning for kalibreringscertifikaters tekniske ækvivalens er, at den på certifikaterne anførte usikkerhed evalueres og udtrykkes på en harmoniseret måde.

1. Indledning.

Formålet med nærværende dokument er at angive retningslinier for, hvorledes man på kalibreringslaboratorier skønner usikkerhed og hvorledes usikkerheden angives på kalibreringscertifikater. Behandlingen i dette dokument er holdt på et generelt niveau for kunne passe på alle typer målinger. Det kan være nødvendigt at supplere de generelle retningslinier med en mere specifik vejledning på forskellige områder, således at den givne information er umiddelbart lettere at anvende. Ved udarbejdelsen af sådanne supplerende retningslinier bør de generelle principper skitseret i dette dokument efterfølges, således at harmonisering mellem de forskellige områder sikres.

Bedømmelsen af de akkrediterede laboratoriers bedste måleevne skal baseres på de retningslinier, der er angivet i dokumentet, men bør understøttes eller bekræftes ved eksperimentel dokumentation.

Fremgangsmåden beskrevet i disse retningslinier giver resultater, som er i overensstemmelse med den metode, der blev anbefalet af Comite International des Poids et Mesures på dets 70. møde i 1981 (Rekommandation 1 (CI-1981), trykt i Metrologia 18 (1982), s. 44).

2. Oversigt og definitioner.

Måleusikkerhed er et skøn over den del af angivelsen af et måleresultat, som karakteriserer det interval, inden for hvilke den sande værdi af den målte størrelse (målestørrelsen) befinder sig. Dette skøn udføres efter, at der er foretaget korrektioner for alle kendte systematiske fejl.

I dette dokument behandles alle fysiske størrelser som stokastiske variable, selv de influensstørrelser, som kan påvirke den målte værdi på en systematisk måde. Influensstørrelserne afviger udelukkende fra målestørrelserne ved, at man sædvanligvis har mindre kendskab til dem.

Målestørrelsen Y repræsenterer en udgangsstørrelse eller en resulterende størrelse. Den afhænger af et antal indgangsstørrelser eller en resulterende størrelse. Den afhænger af et antal indgangsstørrelser X (i=1,2,...,v) ifølge i funktionen G Y = G (X ,X ,...,X ,...,X ) (1) 1 2 i v

Indgangsstørrelserne omfatter dem, der er angivet i kalibreringscertifikaterne for de anvendte normaler, såvel som dem der opstår fra måleprocessen og influensstørrelserne. Eftersom de sande værdier af størrelserne X almindeligvis ikke er kendte, i benyttes der estimerede værdier X som indgangsdata ved i bedømmelsen af den generelle usikkerhed af måleresultatet.

Som et mål for usikkerheden af disse estimerede værdier X , i 2 kan de eksperimentelt bestemte varianser Sx, eller deres positive kvadratrod S - kaldet standardafvigelserne - benyttes. Man x i 2 2 kan desuden benytte relative varianser (S' ) =(S /X ) eller x x i i i relative standardafvigelser S' = S /| X | ved beregningerne. x x i i i

Hvis to indgangsstørrelser X og X vides at være korrelerede - dvs. i k hvis de i et vist omfang er afhængige af hinanden - skal den estimerede kovarians betragtes som et bidrag til usikkerheden (se Tillæg A). I alle andre tilfælde bør indgangsstørrelserne anses for at være ukorrelerede.

3. Formulering af indgangsdata.

3.1 Gentagne målinger.

Når en måling gentages under samme betingelser, kan der være en observerbar spredning i de målte værdier, hvis der er tilstrækkelig opløsning i måleprocessen. Med n uafhængige enkeltmålinger (n> 1), er den estimerede værdi X , af den sande i værdi af størrelsen X giver ved det aritmetriske gennemsnit i af de individuelt måler værdier u (J = 1,...,n): i.j

(2)

Et skøn over standarafvigelsen S af de observerede værdier angives u ved

(3)

Et skøn over den (eksperimentelle) varians af X angives ved: i 2 1 2 S = - S x n u i i (4)

Hvis antallet n af gentagne målinger er mindre end 10, kan lign. (3) føre til en undervurdering af usikkerhedsbidraget. I dette 2 tilfælde bør en værdi for S vurderes på baggrund af erfaring x i (f.eks. på grundlag af resultater af tidligere målinger). Hvis dette er muligt, eller hvis det viser sig at være uacceptabelt, bør den i Tillæg B beskrevne procedure anvendes.

3.2 Enkeltværdier og influensstørrelser.

3.2.1 Hvis kun een værdi er kendt for en størrelse X , f.eks. en i enkelt målt værdi, er resulterende værdi af en tidligere måling, en værdi fra litteraturen eller en korrektionsværdi, bør denne værdi benyttes for X i. 2

Varianserne S skal benyttes, hvis de er angivet eller kan beregnes x i ud fra utvetydige usikkerhedsdata. Hvis der ikke findes sådanne data, skal varianserne vurderes på grundlag af erfaringer.

3.2.2 Hvis influensparameteren på basis af teori eller erfaring kan tillægges en given sandsynlighedsfordeling, skal variansen 2 svarende til denne fordeling anvendes som estimat for S . x i

3.2.3 Hvis kun de øvre og nedre grænser a og a for værdien af u.i l.i influensstørrelsen kan vurderes (f.eks. fejlgrænser for måleinstrument, reguleret temperaturområde), kan man benytte: 1 X = -(a +a ) i 2 u.i l.i (5)

som den estimerede middelværdi og 2 1 2 S = --(a -a ) x 12 u.i l.i i (6)

for den estimerede varians.

Hvis forskellen mellem grænseværdierne betegnes 2A , giver lign. (6): 2 1 2 i S =- a x 3 i i (7)

Disse udsagn svarer til rektangulære fordelinger af influensstørrelserne mellem de givne grænser.

4. Beregning af udgangsdata (resultater).

4.1 Måleresultat.

Resultatet af målingen Y (som en estimeret værdi for den sande værdi for udgangsstørrelsen Y) beregnes ved at erstatte X med i indgangsdata x lign. (1): i Y = G(x ,x ,...,x ,...x ) (8) 1 2 i u

4.2 Varians.

For ukorrelerede indgangsstørrelser er variansen af udgangsstørrelsen givet ved

(9)

Her er den partielle afledede af funktionen G med hensyn til X udregnet i punktet svarende til indgangsdata x . Den i i partielle afledede beskriver, hvordan udgangsstørrelsen er relateret til hver af indgangsstørrelserne. Variansen af måleresultatet er således givet ved at summere varianserne svarende til de forskellige usikkerhedskomponenter multipliceret med kvadratet af de relevante partielle afledede.

Hvis funktionen G er en liniær funktion af alle X , hvilket ofte er i tilfældet for direkte målinger, er alle partielle afledede lig med 1. Det samme gælder, hvis det er muligt at benytte relative varianser, og funktionen G er et produkt eller en kvotient af indgangsstørrelser. I disse tilfælde bliver lign. (9)

(10)

Se Tillæg A for korrelerede størrelser.

5. Samlet måleusikkerhed. 2

Den positive kvadratrod af variansen S , dvs. standardafvigelsen S , y y er et mål for den kombinerede usikkerhed af udgangsstørrelsen Y.

Inden for området kalibrering anbefales det, at en samlet måleusikkerhed af målingen +/-U anføres. Denne opnås ved at multiplicere standardafvigelsen S med en faktor K. y u=k.s (11) y

Inden for WECC er det besluttet at benytte faktoren k=2.

I tilfælde af normalfordelingen (Gauss-fordelingen) betyder faktoren k=2, at grænserne for den samlede usikkerhed gælder for et konfidensniveau på ca. 95%.

6. Angivelse af usikkerhed.

6.1 Usikkerhedsbudget.

Usikkerhedsbudgettet for en måleprocedure omfatter alle kilder til usikkerhed, de tilsvarende varianser (eller standardafvigelser) og metoder til beregning eller vurdering. For gentagne målinger skal desuden antallet af målinger n anføres.

Den numeriske værdi af usikkerheden skal i den endelige angivelse anføres med højst to betydende cifre. I den endelige angivelse skal talværdien for målestørrelsen normalt afrundes til det mindst betydende ciffer i den usikkerhed, der er tillagt målestørrelsen.

6.2 Angivelse i kalibreringscertifikater.

I kalibreringscertifikater skal resultatet af målingen Y og den samlede usikkerhed U angives som (Y+/-U). En tilføjet note bør have følgende indhold

»Den rapporterede usikkerhed er angivet som standardafvigelsen multipliceret med en faktor 2, dvs. k=2. Standardafvigelsen er beregnet på baggrund af bidrag til usikkerheden, der stammer fra normal, kalibreringsmetode, og omgivelsesbetingelser, samt fra ethvert korttidsbidrag fra den kalibrerede genstand i overensstemmelse med WECC Doc. 19.«

7. Trinvis procedure til beregning af måleusikkerheden.

Følgende er en vejledning i den praktiske brug af dette dokument (se eksempler i Tillæg C)

a) Udtryk i matematisk form afhængigheden af målestørrelsen (udgangsstørrelse) Y som funktion af indgangsstørrelserne X i ifølge lign. (1). I tilfælde af en direkte sammenligning af to normaler, kan ligningen være meget enkel, f.eks.

b) Identificer alle korrektioner, som skal anvendes og foretag korrektioner for alle kendte fejl.

c) Anfør alle kilder til usikkerhed, som er forbundet både med gentagne målinger, med resulterende værdier af tidligere målinger, med korrektioner og med influensstørrelser i form af et usikkerhedsbudget i overensstemmelse med afsnit 6.1. 2

d) Beregn variansen S , for gentaget målte størrelser i x i overensstemmelse med afsnit 3.1, dog forudsat at der er foretaget mindst 10 målinger. Hvis antallet af målinger er mindre, henvis da til resultaterne fra tidligere gentagne målinger eller anden information; hvis dette ikke er muligt, eller hvis det er uacceptabelt, anvend da den i Tillæg B anførte procedure.

e) For enkeltværdier, f.eks. resulterende værdier af tidligere målinger, korrektionsværdier, værdier fra litteraturen, etc.: Benyt varianser, hvor de er angivet eller kan beregnes. Hvis dette ikke er tilfældet, vurderes varianserne på grundlag af erfaringer.

f) For influensstørrelser for hvilke populationsfordelingen er kendt eller kan antages: Beregn en passende varians for denne fordeling.

Hvis kun de øvre og nedre grænser er givet eller kan vurderes: Beregn variansen i overensstemmelse med afsnit 3.2.3. 2

g) Relater varianserne S af alle indgangsstørrelser til x i udgangsstørrelsen og læg dem sammen ifølge lign. (9) eller lign. 2 (10) for at få variansen S . y

Hvis indgangsstørrelserne vides at være korrelerede: Anvend den i Tillæg A angivne procedure.

h) Beregn den samlede usikkerhed, i overensstemmelse med afsnit 5, ved at multiplicere standardafvigelsen S med faktoren k=2. Y

i) Rapporter resultatet af målingen og den samlede usikkerhed i kalibreringscertifikatet i overensstemmelse med afsnit 6.2.

Tillæg A. Korrelerede indgangsstørrelser.

Hvis to indgangsstørrelser X og X vides at være korrelerede - i k d.v.s. hvis de i en vis grad er afhængige af hinanden - skal den estimerede kovarians (12) betragtes som et yderligere bidrag til usikkerheden. Graden af korrelation karakteriseres ved korrelationskoefficienten .

I tilfælde af gentagne målinger er kovariansen givet ved (13) og ved substitution kan r beregnes ud fra lign. (12).

For influensstørrelser skal enhver grad af korrelation baseres på erfaring. Når der er korrelation, skal lign. (9) erstattes med (14)

hvor

Det bør bemærkes, at resultatet af den anden summation af led i lign. (14) kan blive negativt.

Hvis to eller flere størrelser kun er positivt korrelerede, og korrelationens koefficienten kan sættes til +1, giver lign. (12) og (14) for den kombinerede varians og standardafvigelse (15)

I dette specielle tilfælde er den kombinerede standardafvigelse af resultatet givet ved en liniær sammenlægning af de enkelte standardafvigelser multipliceret med de relevante partielle afledede. Værdien +1 for korrelationskoefficienten bør f.eks. benyttes, hvis samme instrument benyttes mere end een gang i måleproceduren (f.eks. hvis en 1:10 forholdsmålebro benyttes tre gange for at opnå et forhold på 1:1000)

Hvis to størrelser X og X er negativt korrelerede med en i j korrelationsfoefficient på -1, giver de tilhørende led i lign. (14): (16)

Tillæg B - Procedure når antallet af målinger er mindre end 10.

I tilfælde af mindre end 10 målinger og når der ikke findes andre vurderinger baseret på erfaring, skal værdien af S i lign. (3) u multipliceres med faktoren angivet i Tabel 1.

Tabel 1 Antallet af enkelte Multiplicerende målte værdier faktor 2 7,0 3 2,3 4 1,7 5 1,4 6 1,3 7 1,3 8 1,2 9 1,2

De multiplicerende faktorer gælder for K=2 og er baseret på Student t-fordelinger og normalfordelingen.

Tillæg C - Eksempler.

Følgende eksempler er taget fra praktiske tilfælde. Detaljer og numeriske værdier er imidlertid vilkårligt valgt, således at der ved vurderingen af indgangsstørrelserne kan behandles så mange forskellige tilfælde som muligt. Tekst og beregninger er vist mere udførligt end det forventes i praksis.

C.1. Eksempel 1.

C.1.1 Formålet med målingen og den matematiske model.

Målingen af strømmen I ved spændingen U over en målemodstand med resistancen R. Værdien af strømstyrken er omkring 10 A, en strømmålingsmodstand med nominel resistans benyttes, og spændingsfaldet måles med et digitalvoltmeter, hvor indgangsresistansen er , således at korrektionen for lækstrøm gennem voltmetret er forsvindende lille. Rumtemperaturen holdes konstant inden for (23 +/- 3) grader C. Samtlige indgangsstørrelser er ukorrelerede.

For udgangsstørrelsens afhængighed af indgangsstørrelserne følger i overensstemmelse med lign. (1) at I = U / R

C.1.2 Opgørelse af indgangsdata.

a) Følgende værdier af spændingsfaldet U (aflæsninger af digitalvoltmeteret) blev målt direkte og under repeterbare betingelser (se 3.1)

5 10 2 2 Måling U /mV 10 (u -u)/V 10 (U -U) /V Nr. j j j 1 100,13 + 10 100 2 99,98 - 5 25 3 99,94 - 9 81 4 100,09 + 6 36 5 100,20 + 17 289 6 99,93 - 10 100 7 99,98 - 5 25 8 99,90 - 13 169 9 100,06 + 3 9 10 100,15 + 12 144 11 100,06 + 3 9 12 99,94 - 9 81 1200,36 0 1068

Gennemsnittet U er ifølge lign. (2) 1200,36 U = ------- mV=100,03mV 12

Den eksperimentelle standardafvigelse er ifølge lign. (3)

Estimeret værdi af variansen af gennemsnittet er ifølge lign. (4)

2 97 -10 2 -10 2 S = -- x10 V = 8,1x10 V x1 12

b) Producenten af digitalvoltmeteret anfører fejlgrænserne for måleområdet 200 mV og for temperaturområdet fra 15 grader C til 35 grader C som værende (0,025 % af målestørrelsen + 0,01 % af området).

Dette resultat er blevet bekræftet ved kalibrering. Således vil de resulterende fejlgrænser for den målte værdi, 100 mV, være 0,045%

-5 svarende til 4,5x10 V. Under antagelse af en rektangulær fordeling, jf. afsnit 3.2.3 lign, (7), er den estimerede værdi af variansen givet ved: 2 1 2 -10 2 -10 2 S =-4,5 x10 V =6,75x10 V x2 3

c) På grundlag af en tidligere kalibrering er følgende data til rådighed for strømmålingsmodstanden

- for 10 A og ved 23 grader C er den målte resistans

-4 - den relative måleusikkerhed: 6x10 ,k=2 - den relative temperaturkoefficient i området 15 grader C til 25 -5 -1 grader C: 5x10 K

De relative usikkerheder kan konverteres til absolutte usikkerheder ved at multiplicere med R.

Ifølge 3.2.1 bør den målte værdi tages som en estimeret værdi for R

Ved indsættelse af usikkerhedsværdien og k=2 i lign (11), er den relative standardafvigelse

6 -4 -4 -x10 =3x10 , hvilket er ækvivalent med (FIGUR) 2

og ud fra denne beregnes variansen

d) For rumtemperaturen, som er en influensstørrelse, postuleres en rektangulær fordeling i området +/-3K. Der er allerede taget højde for effekten af rumtemperaturen på digitalvoltmeteret ved fejlgrænserne (se under (b)). For modstanden med temperaturkoefficienten opnås variansen ved brug af lign. (7)

Denne usikkerhedskomponent er så lille sammenlignet med den forrige, at den praktisk taget ingen indflydelse har på den endelige (totale) værdi af usikkerheden; man kan derfor se bort fra den.

C.1.3 Resultat og samlet måleusikkerhed.

Fra værdierne for U og R er strømstyrkeværdien I

2 For at relatere varianserne S , til udgangsstørrelsen, er partielle x 2 afledede nødvendige. Ved brug af lign: (9) er variansen S givet ved: y

2 1 2 2 U 2 2 = --(S +S )+--(S +S ) 2 x1 x2 4 x3 x4 R R

-6 2 =(8,1+6,75+9+0,75)x10 A -6 2 =24,6x10 A .

Følgelig er standardafvigelsen

og den samlede usikkerhed, ifølge lign. (11) med k=2, er

-3 -2 u=2x5x10 A=1x10 A Det endelige resultat af målingen er således: -3 I=(9,985+/-0,010)A=9,985(1+/-1x10 )A

C.1.4 Beregning med brug af relative værdier.

Inden for visse arbejdsområder er det almindeligt - og ofte lettere - at relatere standardafvigelser og varianser til værdien af den relevante størrelse fra begyndelsen, dvs. at regne med relative dimensionsløse værdier

I dette eksempel opnås der for de direkte målte værdier

-10 2 8,1x10 -8 (S' ) = --------- =8,1x10 x1 2 0,1 -4 Idet digitalvoltmeterets relative fejlgrænser er 4,5x10 , har vi: 2 2 4,5 -8 -8 (S' ) =---- x10 =6,75x10 x2 3 -4 Den relative usikkerhed på 6x10 for faktoren k=2 for kalibreringen af strømmålingsmodstanden giver en relativ standardafvigelse på -4 3x10 og en relativ varians: 2 -8 (S' ) = 9x10 , x3 Ud fra temperaturområdet +/- 3 K og den relative -5 -1 temperaturkoefficient 5x10 K følger. 2 1 2 -10 -8 (S' ) = - (3x5) x10 =0,75x10 , x4 3 Eftersom vi kun har lineært afhængige størrelser, giver den simple aritmetiske sum: 2 -8 -8 (S' ) =(8,1+6,75+9+0,75)x10 =24,6x10 y Således at: -4 S' = 5x10 y og med k=2 er den relative usikkerhed: -3 u' = 1x10

C.2 Eksempel 2.

C.2.1 Formål med målingen og den matematiske model.

Vurdering af kalibreringsusikkerheden for måleklodser i området 0,5 mm til 100 mm ved hjælp af mekanisk sammenligning med normaler, der er interferometrisk kalibrerede, af samme nominelle længder som de måleklodser (emner), der skal kalibreres.

Længden l af emnet angives ved

hvor

l er længden af normalen ifølge dens kalibreringscertifikat, s l er den målte differens mellem emnet, der skal kalibreres, og d normal,

er det j'te additive korrektionsled, hvis middelværdi kan være nul.

C.2.2 Angivelse af indgangsdata.

I dette simplificerede eksempel tages kun de mest betydningsfulde usikkerhedsbidrag i betragtning.

a) Usikkerhedsbidraget på grund af manglende repeterbarhed.

Ifølge måleproceduren foretages kun 5 gentagne målinger af

differencen l . Fra resultaterne af et større antal tidligere d

gentagne målinger, er den eksperimentelle standardafvigelse ifølge lign. (3) imidlertid fundet til 13nm.

Ifølge lign. (4) estimeres variansen derfor at være

2 1 2 2 2 S = - 13 (nm) =34(nm) xi 5

Usikkerhedsbidraget fra kalibrering af normalen.

Ifølge kalibreringscertifikatet er den samlede usikkerhed af normalerne givet ved

Heraf følger for standardafvigelsen S = u(l )/3: x2 s -6 S = 16,7nm+0,167x10 l x2 og for variansen 2 2 -6 -15 2 S = 279(nm) +5,58x10 l.nm+28x10 l . x2

c) Usikkerhedsbidraget fra kalibrering af komparatoren.

Ifølge kalibreringscertifikatet er usikkerheden »på grund af tilfældige fejl« ved et konfidensniveau på 95 % (k=2). Således er den tilsvarende standardafvigelse 8/2nm=4,0nm. Usikkerheden »på grund af systematiske fejl« angives som ved »tre sigma niveauer«. Den tilsvarende standardafvigelse kan således antages at være 20/3nm=6,7nm. Dette giver for variansen

2 2 2 2 2 S = (4,0 +6,7 )(nm) = 61(nm) . x3

d) Usikkerhedsbidrag på grund af temperaturforskellen mellem emnet, der skal kalibreres, og normalen.

Ud fra definitionen af koefficienten for den lineære -6 -1 ekspansion (11,5x10 K ), fås

kan antages at ligge mellem +/- 0,05K, og således er ifølge lign. (7) (under antagelse af en rektangulær fordeling) den estimerede værdi af variansen givet ved

2 1 -6 2 -15 2 S = -(11,5x10 x0,05l) = 110x10 l . x4 3

e) Usikkerhedsbidraget på grund af differensen mellem temperaturen af normal henholdsvis emne og rummets kontrolpunkt.

Hvis rummet, og dermed normal og emne, ikke er på kontroltemperaturen, og der er en forskel i de lineære ekspansionskoefficienter af normalen og det testede emne, der skal kalibreres, vil det resultat, der vil blive angivet ved rummets kontroltemperatur, have en fejl på

hvor er forskellen i mellem normal og emnet, som antages at være .

Rumtemperaturen er angivet til at være (20 +/- 0,6) grader C. Ifølge lign. (7) skønnes de partielle varianser at være

Disse varianser for henholdsvis ekspansionskoefficienten og temperaturen skal konverteres til varianser for længden. Ifølge lign. (9) er estimatet for den kombinerede varians givet ved

Ved at erstatte med og med fås

2 1 1 -12 2 -15 2 S = 2x - x - x 0,36 x 10 l =80 x 10 l . x5 3 3

C.2.3 Den samlede måleusikkerhed. 2

Ifølge lign. (9) er variansen S givet ved summen af de partielle y varianser

Bidrag Varianser 2 1 34(nm) 2 -6 -15 2 2 279(nm) + 5,58 x 10 l.nm + 28 x 10 l 2 3 61(nm) -15 2 4 110 x 10 l -10 2 5 80 x 15- l 2 -6 -15 2 Sum 374(nm) + 5,58 x 10 l.nm + 218 x 10 l Følgelig er standardafvigelsen: 2 -6 -15 2 1/2 S = (374(nm) + 5,58 x 10 l.nm + 218 x 10 l ) Y Dette udtryk kan tilnærmes ved -6 S = 19nm + 0,37 x 10 l y som er korrekt ved ekstremerne, og som overvurderer usikkerheden ved andre værdier, op til 11 % ved l = 26mm. Den samlede usikkerhed er således ifølge lign. (11) for k=2 -6 u = 38nm + 0,74 x 10 l.

Ingen